라디안, 파동, 그리고 인수분해

360°가 한 바퀴인 건 수학적 필연이 아니야. 바빌로니아 사람들이 60진법을 썼고 360이 약수가 많아서 편했을 뿐이야. 수학적으로 보면 임의적인 레거시 단위지.

그러면 "수학적으로 자연스러운 각도 단위"가 있을까?

라디안: 원 자체가 정의하는 단위

아이디어는 단순해:

"반지름 길이만큼 원호를 걸으면, 그때 벌어진 각도를 1라디안으로 하자."

원의 둘레 = 2πr이니까:

360° = 2π rad
180° = π rad
90°  = π/2 rad

왜 라디안이 "자연스러운가"

도(degree)를 쓰면 공식마다 보정 상수가 붙어. 라디안을 쓰면 깔끔해져:

// 도를 쓰면
호의 길이 = (θ/360) × 2πr    ← 변환 필요

// 라디안을 쓰면
호의 길이 = θ × r             ← 깔끔

그리고 결정적으로, 미적분에서:

// 라디안일 때
sin(x)의 미분 = cos(x)           ← 깔끔

// 도일 때
sin(x°)의 미분 = (π/180)cos(x°)  ← 보정 상수가 계속 따라다님

핵심 각도: 외우지 말고 도출하기

단위원에서 핵심 각도들:

외울 필요 없어. 원리만 알면 돼:

구조를 알면 값은 도출할 수 있어. 외운 값은 까먹지만, 도출 과정은 안 까먹어.

cos²θ + sin²θ = 1

단위원 위의 점이 (cos θ, sin θ)이고 원의 방정식이 x² + y² = 1이니까:

cos²θ + sin²θ = 1

이건 피타고라스 정리를 삼각함수로 쓴 것일 뿐이야. 새로운 공식이 아니라 같은 사실의 다른 표현. 이걸로부터 다른 삼각함수 항등식들이 전부 파생돼.

회전을 펼치면 사인파

단위원 위의 점이 θ에 따라 회전할 때, y좌표(= sin θ)만 추적해서 그래프로 그리면:

단위원:               그래프로 펼치면:

    * <- y좌표 추적     sin theta
   /                  1 |  /\
  / theta                | /  \
 *----              0 ---/-----\--/--- theta
                        |       \/
                   -1 |
                        0  pi   2pi  3pi

원을 한 바퀴 돌면(θ: 0 → 2π) sin이 0 → 1 → 0 → -1 → 0으로 한 사이클. 계속 돌면 같은 패턴이 무한 반복돼. 이게 주기성이야.

sin과 cos의 관계

cos θ = sin(θ + π/2)

cos은 sin을 π/2만큼 앞으로 당긴 것일 뿐이야. 같은 파동인데 시작점만 다른 거지. 원 위에서 보면 자명해 -- cos은 x좌표, sin은 y좌표인데, x축이 y축보다 90°(= π/2) 앞서 있잖아.

파동의 세 가지 속성

일반적인 사인파: A sin(ωθ + φ)

A=1, omega=1: 기본 사인파    ~  ~  ~  ~
A=2, omega=1: 진폭 2배       ~     ~     ~
A=1, omega=2: 주기 절반       ~~~~  ~~~~

푸리에: 파동의 인수분해

세상의 반복적인 현상은 거의 다 사인파로 분해할 수 있어:

• 소리: 공기의 진동 = 사인파들의 합성
• 빛: 전자기파 = 사인파
• 교류전기: 전압이 사인파로 변함
• 심장박동: 주기적 신호

정수의 인수분해:
  12 = 2 × 2 × 3    (소수들의 곱)

다항식의 인수분해:
  x²-4x+3 = (x-1)(x-3)   (일차식들의 곱)

파동의 인수분해 (푸리에):
  복잡한 소리 = 440Hz 사인파 + 880Hz 사인파 + ...
  (기본 사인파들의 합)

전부 같은 철학:
  복잡한 것 = 단순한 기본 단위들의 조합

음악 파일을 MP3로 압축할 수 있는 것도, 이미지를 JPEG로 압축할 수 있는 것도 이 원리 덕분이야. 복잡한 신호를 기본 사인파로 분해하고, 중요하지 않은 성분을 버리는 거지.

Stage 3 마무리

다음은 Stage 4 -- "변화"를 정밀하게 다루기 시작해. 극한과 미분이 등장한다.