수직선의 구멍을 메우다

분수(유리수)로 모든 수를 표현할 수 있을 것 같잖아. 1/3 = 0.333..., 7/11 = 0.636363... -- 아무리 복잡해도 분자/분모 정수 쌍이면 되니까. 그런데 고대 그리스에서 충격적인 발견이 있었어.

√2: 분수로 표현 불가능한 수

한 변이 1인 정사각형의 대각선 길이는 얼마일까?

┌──────┐
│      │ 1
│      │
└──────┘
   1

대각선² = 1² + 1² = 2   (피타고라스)
대각선 = √2

√2는 분명히 존재하는 길이야 -- 자로 그릴 수 있어. 근데 이걸 a/b(정수의 비)로 표현하려고 하면 불가능하다는 게 증명돼.

귀류법 증명 -- 대우의 실전 사용

Article 1에서 배운 "대우"가 여기서 바로 써먹혀. 직접 증명하기 어려우니, "가정이 참이라면 모순이 발생한다 → 따라서 가정이 거짓"이라는 구조로 간다.

유리수의 구멍, 실수의 완성

분수들(유리수)을 수직선 위에 찍으면, 빽빽하게 촘촘히 깔려 있지만 그 사이사이에 빈 점이 있어. √2, π, e 같은 것들이 그 빈 자리에 있는 거지.

유리수들:  ···  1.4  1.41  1.414  1.4142  ···
                      ↓
                    √2 = 1.41421356...
                    (여기에 정확히 도달하는 분수는 없음)

유리수(분수)와 무리수(√2, π, e 등)를 합쳐서 수직선에 빈틈이 하나도 없게 만든 게 실수야.

유리수: a/b (정수 쌍)로 정확히 표현
무리수: 유한 소수로 표현 불가
실수: 빈틈 없는 연속적 수직선

// 유리수 = int/int로 정확히 표현 가능
type Rational = { num: number; den: number };
// 3/4, 7/11, 22/7 ...

// 실수 ≈ float (근사값)
const sqrt2: number = 1.4142135623730951;
// 실제 실수는 정밀도 한계가 없지만
// float은 유한한 비트로 근사

점, 선, 면 -- 차원의 확장

점: 위치만 있고 크기는 없다

점은 수학에서 가장 근본적인 추상화야. Article 1에서 "3"이 구체적 사물에서 개수를 추출한 것처럼, 점은 구체적 사물에서 위치만 추출한 거야.

사과의 위치  ─┐
별의 위치    ─┼─→ 추상화 → "점" (위치라는 속성만 남김)
핀의 끝      ─┘

점에는 길이도, 넓이도, 부피도 없어. 크기가 0인 게 아니라, 크기라는 속성 자체가 없는 거야. 인터페이스에 size 필드가 아예 정의되어 있지 않은 것과 비슷하지.

선: 독립적인 방향 하나

한 점에서 하나의 방향을 정하고, 그 방향으로 빈틈없이 점이 채워져 있는 것. 여기서 아까 배운 게 연결돼 -- 유리수만 찍으면 빽빽하지만 구멍이 있었잖아. 실수까지 메워야 빈틈이 없어졌어. 선이 진짜 "선"이 되려면, 그 위의 점들이 실수처럼 빈틈없이 연속이어야 해.

점:   •                         (0차원 -- 위치만)
       ↓ 한 방향으로 연속 확장
선:   •─────────────────•       (1차원 -- 자유도 1개)

면: 독립적인 방향 하나 더

선 위의 점은 앞뒤로만 움직일 수 있어. 자유도 1개. 여기에 기존 방향과 독립적인 새로운 방향을 하나 더 추가하면?

선:   ─────────────           (자유도 1: 좌우)
       ↓ 독립적인 방향 추가
면:   ┌───────────┐
      │           │           (자유도 2: 좌우 + 상하)
      │           │
      └───────────┘

차원 = 독립적 방향의 수

매번 독립적인 방향을 하나 추가해서 차원을 올리는 거야. 그리고 이 확장에는 끝이 없어 -- 수학적으로 4차원, 5차원, n차원도 같은 논리로 정의할 수 있어. 시각화는 못 하지만 구조는 동일해.

이 감각이 있으면 Article 9에서 "n차원 벡터공간"이 나왔을 때 겁먹지 않아도 돼. 그냥 독립 방향이 n개인 것뿐이니까.

거듭제곱: 곱셈의 반복

곱셈이 덧셈의 반복이었듯, 거듭제곱은 곱셈의 반복이야.

덧셈의 반복 → 곱셈:   3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 4
곱셈의 반복 → 거듭제곱: 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴

여기까지는 직관적이야. 근데 문제가 생겨: 3⁰은 뭐야? 3을 0번 곱한다?

a⁰ = 1의 필연성

"0번 곱한다"는 말이 안 되는 것 같지만, 또 규칙 보존 원리가 등장해.

거듭제곱의 핵심 규칙: aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ

같은 논리로 음수 지수도: 3² × 3⁻² = 3⁰ = 1 → 3⁻² = 1/3² = 1/9

음수 지수 = 역수. 이것도 규칙 보존에서 자동으로 나와.

로그: 거듭제곱의 역질문

Article 1에서 나눗셈이 "곱셈의 역질문"이었잖아. 로그도 같은 구조야.

log₂(8) = 3이 뜻하는 건: "2를 몇 번 곱해야 8이 되나? 3번."

로그의 핵심 성질 -- 왜 유용한가

로그의 가장 중요한 성질:

log(a × b) = log(a) + log(b)

곱셈을 덧셈으로 바꿔준다. 큰 수의 곱셈은 어렵고 덧셈은 쉽잖아. 로그 덕분에 곱셈 문제를 덧셈 문제로 변환할 수 있어.

O(log n)의 직관

시간복잡도에서 O(log n)이 왜 빠른지 생각해봐. 데이터가 2배로 늘어도 연산은 1번만 추가돼. 이진탐색이 그래. 매번 반으로 쪼개니까 "몇 번 반으로 쪼개야 1개가 되나" = log₂(n).

n = 1024일 때
log₂(1024) = 10    ← 10번만 쪼개면 됨

log₂(n) = "n을 몇 번 반으로 쪼개야 1이 되는가"

log₂(1) = 0
log₂(2) = 1
log₂(1024) = 10
log₂(1,000,000) ≈ 20
log₂(1,000,000,000) ≈ 30

function binarySearch(arr, target) {
  let lo = 0, hi = arr.length - 1;
  while (lo <= hi) {          // 매번 반으로 쪼갬
    const mid = (lo + hi) >> 1;
    if (arr[mid] === target) return mid;
    if (arr[mid] < target) lo = mid + 1;
    else hi = mid - 1;
  }
  return -1;
}
// n=10억이어도 30번이면 찾는다

로그는 **"폭발적으로 큰 것을 다루기 쉬운 크기로 압축"**하는 도구야.

Stage 1 마무리

지금까지 다룬 걸 관통하는 하나의 원리:

수학은 "연산을 정의하고, 규칙을 보존하면서 확장하고, 역연산을 만드는" 과정의 반복이다.

이 감각을 가지고 다음 Stage로 가면, **"변수"**와 **"함수"**라는 강력한 도구가 등장해. 구체적인 수가 아니라 구조 자체를 다루기 시작하는 거지.