수: 인류 최초의 인터페이스 추출

프로그래머라면 인터페이스 추출(Extract Interface)을 해본 적이 있을 거야. 여러 클래스에서 공통된 행위를 뽑아내서 하나의 계약으로 정의하는 것. 인류가 "수"를 발명한 과정이 정확히 이거야.

"3"이 뭐야?

사과 3개, 돌 3개, 사람 3명 -- 이것들은 전혀 다른 물건이지만, 우리는 거기서 공통된 무언가를 뽑아냈어. 그게 "3"이라는 숫자야.

사과 3개  ─┐
돌 3개    ─┼─→ 추상화 → "3" (개수라는 속성)
사람 3명  ─┘

이 추상화가 왜 대단하냐면, "사과에 대한 규칙"과 "돌에 대한 규칙"을 따로 만들 필요 없이, 수에 대한 규칙 하나로 모든 걸 다룰 수 있게 됐거든. 코드 재사용의 원조라고 할 수 있지.

사과 3개 + 사과 5개 = 사과 8개
돌 3개 + 돌 5개 = 돌 8개
사람 3명 + 사람 5명 = 사람 8명

→ 공통 규칙 추출: 3 + 5 = 8

// 구체적 클래스마다 로직을 만드는 대신
apple.add(3, 5)  // 8
stone.add(3, 5)  // 8
person.add(3, 5) // 8

// 인터페이스를 추출한다
Number.add(3, 5) // 8

덧셈의 규칙

덧셈은 "합치기"야. 두 무더기를 하나로 모으면 몇 개인지 세는 행위. 여기서 중요한 성질이 따라와:

• 교환법칙: 3 + 5 = 5 + 3 → 어느 무더기를 먼저 놓든 결과는 같아
• 결합법칙: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) → 어떤 순서로 합치든 같아

"당연한 거 아냐?"라고 생각할 수 있는데, 곱셈으로 가면 당연하지 않은 것도 있어. 행렬곱은 교환법칙이 안 돼 -- Article 10에서 만나게 될 거야.

곱셈: 반복 덧셈을 넘어서

3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12. 곱셈은 반복 덧셈이라고 배웠을 텐데, 이건 반만 맞아.

3 × 0.5는? "3을 0.5번 더한다"는 말이 안 되잖아.

그래서 수학자들이 한 건, 곱셈을 재정의한 게 아니라 확장한 거야. TypeScript에서 인터페이스를 처음에 number만 다루게 만들었는데, 나중에 float도 처리해야 할 때 기존 동작을 깨지 않으면서 확장하잖아. 수학도 똑같아.

규칙 보존으로 도출하기

자연수에서 성립하는 핵심 규칙 두 가지:

1. a × 1 = a (1을 곱하면 안 변한다)
2. a × (b + c) = a×b + a×c (분배법칙)

3 × 0.5 = 1.5인 건 누가 정한 게 아니라, 기존 규칙을 깨지 않으려면 이 값일 수밖에 없어서 그렇게 된 거야.

음수의 발명: 방향이 추가되다

왜 음수가 필요했을까?

자연수만 있으면 3 - 5 = ?에 답할 수 없어. 가진 게 3개인데 5개를 빼라니. 자연수 세계에서는 이게 에러야.

그런데 현실에서는 이런 상황이 필요해 -- 빚, 온도, 해수면 아래 깊이. "없는 것보다 더 적은 상태"를 표현해야 했어.

... -3  -2  -1   0   1   2   3 ...
◄────────────────┼────────────────►
    반대쪽         │         원래 자연수

음수는 별도의 새로운 종류의 수가 아니라, "방향"이라는 개념이 수에 추가된 것이야. 양수가 오른쪽이면, 음수는 왼쪽. 같은 수직선 위에서 부호가 방향을 나타내는 거지.

(-1) × (-1) = 1, 왜?

음수의 덧셈은 직관적이야. -3 + 5 = 2 -- 왼쪽으로 3 갔다가 오른쪽으로 5 가면 결국 오른쪽 2에 있어.

문제는 곱셈이야. 음수 × 음수 = 양수, 왜?

아까 배운 "규칙 보존" 원리를 그대로 적용해보자. 우리가 지키고 싶은 규칙: 분배법칙.

이건 선택이 아니야. 분배법칙이 계속 성립하려면, (-1) × (-1)은 1일 수밖에 없어. 다른 값이면 분배법칙이 깨져.

확장의 패턴

여기서 패턴이 보여:

1. 기존 수 체계에서 못 하는 연산이 생김 (3 - 5 = ?)
2. 새로운 수를 도입 (음수)
3. 기존 규칙이 깨지지 않도록 새로운 수의 연산을 정의
4. 그 정의에서 "의외의" 성질이 필연적으로 따라옴 (음수 × 음수 = 양수)

이 패턴은 분수, 무리수, 복소수까지 전부 반복돼.

나눗셈: 곱셈의 Undo

나눗셈의 본질

곱셈이 "반복 덧셈"이었다면, 나눗셈은 "반복 뺄셈"으로 시작할 수 있어. 12 ÷ 3 = ? → 12에서 3을 몇 번 뺄 수 있나? 4번.

근데 이것도 자연수에서만 깔끔해. 7 ÷ 3은 딱 안 떨어지잖아. 그래서 분수가 필요해져.

분수: 새로운 데이터 타입

3/4을 "3 나누기 4"라고 배웠겠지만, 더 근본적인 의미는 **"1을 4등분한 것 중 3조각"**이야.

프로그래밍으로 비유하면, 분수는 연산이 아니라 데이터 타입이야. 정수로 표현 못 하는 값을 담기 위해 (분자, 분모) 페어로 수를 표현하는 새로운 자료구조인 거지.

정수: 3        → 하나의 값
분수: (3, 4)   → 두 값의 쌍으로 하나의 수를 표현

왜 뒤집어서 곱하는가

나눗셈의 정의부터 다시 보자. a ÷ b는 **"b를 곱하면 a가 되는 수"**야.

즉, a ÷ b = x라 함은 x × b = a라는 뜻이야. 나눗셈은 독립적인 연산이 아니라, 곱셈의 역질문이야.

역연산 쌍 테이블

나눗셈은 별도의 연산이 아니라 곱셈의 undo야. 이 "연산 ↔ 역연산" 쌍은 앞으로 계속 나와.

역수와 항등원: 구조의 언어

여기서 잠깐 멈추고, 연산의 구조를 분류하는 도구들을 짚고 가자. 이게 나중에 선형대수까지 쭉 써먹히거든.

항등원 (Identity Element)

연산해도 상대방이 안 변하게 하는 특별한 값:

아까 "역수를 곱하면 1이 된다"고 했잖아. 그 1이 바로 곱셈의 항등원이야. 역연산이란 결국 항등원으로 되돌리는 것이지.

a + 0 = a       (덧셈의 항등원)
a × 1 = a       (곱셈의 항등원)
A ∪ ∅ = A       (합집합의 항등원)
A × I = A       (행렬곱의 항등원)

arr.concat([])    // 빈 배열 concat = 그대로
str + ""           // 빈 문자열 concat = 그대로
x * 1              // 1 곱하기 = 그대로
compose(f, id)     // id 함수와 합성 = 그대로

역원 (Inverse)

연산하면 항등원이 되는 짝꿍:

3 + (-3) = 0      → -3은 3의 덧셈 역원
4/5 × 5/4 = 1     → 5/4는 4/5의 곱셈 역원
A × A⁻¹ = I       → A⁻¹은 A의 행렬곱 역원

항등원 → 역원 → 역연산, 이 세 개는 한 세트야.

멱등성 (Idempotency)

같은 연산을 여러 번 해도 결과가 안 변하는 성질.

// 멱등한 것
Math.abs(Math.abs(-3)) === Math.abs(-3)   // true
Set.add(x).add(x)  // x가 한 번만 들어감
// HTTP PUT 여러 번 보내도 결과 동일

// 멱등하지 않은 것
x + 1을 두 번 하면 x + 2  // 결과 달라짐
// HTTP POST 여러 번 → 리소스 여러 개

역/이/대우: 논리적 추론의 도구

원래 명제가 **"P이면 Q이다" (P → Q)**일 때:

핵심: 원명제와 대우는 항상 진리값이 같다. 역과 이도 서로 같다. 하지만 원명제와 역은 독립이야.

원명제: P → Q          (참)
역:    Q → P          (독립)
이:    ¬P → ¬Q        (독립)
대우:  ¬Q → ¬P        (참, 원명제와 동치)

// 원명제: input이 null이면 → 에러가 난다 (참)
if (input === null) throw Error()

// 역: 에러가 나면 → input이 null이었다 (거짓!)
// 다른 이유로도 에러 가능

// 이: input이 null 아니면 → 에러 안 난다 (거짓!)
// 다른 에러 가능

// 대우: 에러가 안 났으면 → input이 null 아니었다 (참!)
// 원명제와 동치

대우가 왜 유용하냐면, 직접 증명하기 어려울 때 대우를 증명하면 되기 때문이야. "A이면 B다"를 보이기 힘들면, "B가 아니면 A가 아니다"를 보여도 같은 거거든. 이건 다음 글에서 √2의 무리수 증명에 바로 써먹어.

수학의 확장 패턴: 정리

지금까지 다룬 걸 관통하는 하나의 원리:

수학은 "연산을 정의하고, 규칙을 보존하면서 확장하고, 역연산을 만드는" 과정의 반복이다.

다음 글 미리보기

다음 글에서는 유리수에서 실수로의 확장 -- 수직선의 구멍을 메우는 이야기를 해. √2가 분수로 표현 불가능하다는 충격적인 사실을 귀류법으로 증명하고, 점·선·면의 차원 확장, 거듭제곱과 로그까지 다뤄.

그리고 방금 배운 "대우"가 바로 써먹히는 순간이 와.